Сама история: живу в многоквартирном доме, в семье 3 машины, одна из машин без номеров из-за отсутствия учета

Здравствуйте.

Да, Вы можете обратиться в суд, если Вам блокируют доступ к шлагбауму без законных оснований.

Глава дома не может сам решать, кому открывать и кому закрывать шлагбаум.
Ограничения возможны только если есть решение общего собрания собственников, и в нём прямо прописаны правила (гости, количество машин, санкции и т.п.).
Если такого решения нет — блокировка доступа незаконна.

Также Вы имеете право заезжать и пускать гостей, если иное не утверждено общим собранием.
Требование «обязательно оформлять гостевой пропуск» без решения собрания — просто желание главы дома, юридической силы не имеет.

Запрещать хранить во дворе дома машину без номеров глава дома тоже не вправе, если опять же нет решения общего собрания и машина не мешает проезду и не нарушает ПДД.

Сам он эвакуировать её или требовать убрать не может.

Попросите письменно показать решение общего собрания.

Если заблокируют шлагбаум — пишите жалобу в ГЖИ или прокуратуру.

При необходимости — подавайте в суд с требованием восстановить доступ.

Если нужно, при необходимости могу составить претензию, жалобу или иск.