Здравствуйте. Нет, бывший муж не может сдать свою долю в квартире в аренду, если там проживает несовершеннолетний ребёнок.
Согласно п. 1 ст. 247 ГК РФ, владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляются по соглашению всех её участников, а при недостижении согласия — в порядке, устанавливаемом судом.
Кроме того, органы опеки и попечительства защищают права ребёнка на спокойное и безопасное проживание. Вселение постороннего человека без согласия органов опеки и второго родителя (если он не согласен) может быть оспорено и признано незаконным.
(Если Вам понравился мой ответ ставьте пожалуйста +, также можете обращаться по поводу консультации)
С уважением, юрист Асхаб Тайсумов.