Может ли он по прибытии в РФ в течении 30 дней оформить трудовой патент?

Здравствуйте Екатерина! В отношении граждан Республики Узбекистан действует безвизовый порядок въезда на территорию РФ (ст. 1 Соглашения между Правительством РФ и Правительством Республики Узбекистан о взаимных поездках граждан РФ и граждан Республики Узбекистан (Минск, 30.11.2000)). В соответствии с п. 1 ст. 2 Федерального закона от 25.07.2002 N 115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в РФ» (далее — Закон N 115-ФЗ) 

лицо, прибывшее в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, и получившее миграционную карту, но не имеющее вида на жительство или разрешения на временное проживание, имеет статус временно пребывающего в РФ иностранца.

В вашем случае, лицо без гражданства въехало на территорию РФ с туристической визой. В соответствии с п. 2.1 ст. 13.3 Закона N 115-ФЗ.

Иностранный гражданин, прибывший в Российскую Федерацию в целях, не связанных с осуществлением трудовой деятельности, имеет право на осуществление трудовой деятельности в случае изменения цели своего визита в Российскую Федерацию, о чем он указывает в заявлении о выдаче патента. При выдаче такому иностранному гражданину патента целью его визита в Российскую Федерацию считается работа.

Таким образом, в настоящее время обратиться за получением патента вправе и иностранец, изначально не указывавший работу в качестве цели своего визита. В вашей ситуации действия лица будут правомерны если он  в течение тридцати календарных дней со дня въезда в Российскую Федерацию представит в территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере внутренних дел непосредственно либо через подведомственное предприятие или уполномоченную организацию документы указанные в п. 2 ст. 13.3 Закона N 115-ФЗ и в заявлении на выдачу патента укажет цель визита «работа».