Уважаемый Андрей!
С 1993 года Законом РФ от 26.06.1993 г. № 5242-1 «О праве граждан на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации" в место существовавшей на до 1993 года «прописки» по всей России был введен для граждан РФ регистрационный учет (регистрация) в жилых помещениях по месту их жительства (постоянная регистрация) и по месту их пребывания (временная регистрация от 1 месяца до 5 лет).
Таким образом, без прописки ребенка, но с регистрацией по месту жительства или по месту пребывания в Петрозаводске в школу ребенка устроить возможно, а вот без регистрации нельзя.
Удачи!