Можно ли уволить работника, который проработал всего один день?

Добрый вечер!  да, возможно.

Уволить можно: 

по соглашению сторон (ст. 78 ТК РФ) — самый простой и быстрый вариант;
по инициативе работника (заявление об увольнении) — обычно с двухнедельным сроком предупреждения, но работодатель может уволить раньше по соглашению (ст. 80 ТК РФ);
по инициативе работодателя — например, если в трудовом договоре было испытание и работник его не прошёл (испытание устанавливается при приёме; порядок — см. ст. 70 ТК РФ);
и другие основания, предусмотренные ТК РФ (общие основания прекращения — ст. 77 ТК РФ).

 Важно соблюсти документооборот:  письменное заявление или приказ работодателя, расчёт и выдача всех выплат (з/п за отработанное время, компенсация за неиспользованный отпуск при наличии права), запись в трудовой книжке и выдача документов в день увольнения.

Здравствуйте, Зураб.

Да, по соглашению сторон увольнение может быть оформлена и в день первого выхода на работу (согласно датам договора).

ТК РФ Статья 77. Общие основания прекращения трудового договора

ТК РФ Статья 78. Расторжение трудового договора по соглашению сторон

Трудовой договор может быть в любое время расторгнут по соглашению сторон трудового договора.

(то есть будет заявление от работника на увольнение и Приказ на увольнение той же датой).