Имеют ли они право так делать и как я могу повлиять, чтобы они перестали?

1) Может ли банк звонить моим родственникам и рассказывать о долге?
Только при одновременном наличии двух письменных согласий: вашего — на взаимодействие банка с третьими лицами, и самого родственника — на такое взаимодействие. Иначе — нельзя. Это прямое правило закона № 230-ФЗ: п. 5 ст. 4 требует оба согласия, причём в отдельном документе, а при их отзыве банк обязан прекратить контакты в течение 3 рабочих дней. Эти же правила распространяются на любое взаимодействие с третьими лицами. 

2) А если где-то в анкете я «общие согласия» ставила галочками?
Даже если вы когда-то дали своё согласие, вы вправе его отозвать — направив уведомление в банк удобным способом (почта, электронная почта с «официального» адреса, нотариус, вручение под роспись). После получения уведомления банк обязан прекратить взаимодействие с третьими лицами в 3-дневный срок. Родственник тоже может в любой момент отозвать своё согласие (или заявить, что никогда его не давал) — и банк также должен прекратить звонки в 3-дневный срок. 

3) Можно ли сообщать родственникам факт моей просрочки или сумму долга?
Раскрывать подобные сведения третьим лицам без законного основания — это нарушение банковской тайны (ст. 857 ГК РФ и ст. 26 Закона «О банках и банковской деятельности») и конфиденциальности персональных данных (ст. 7 Закона № 152-ФЗ). За разглашение предусмотрена ответственность, вплоть до административных штрафов; при грубых случаях возможна и уголовная ответственность по ст. 183 УК РФ. 

4) Сколько раз вообще могут звонить должнику (мне)?
Даже вам банк/взыскатель не вправе названивать бесконтрольно: не более 1 раза в сутки, 2 раз в неделю и 8 раз в месяц — по телефону; для сообщений (SMS/мессенджеры) — не более 2 в сутки, 4 в неделю и 16 в месяц. Время — не ранее 8:00 и не позднее 22:00 в будни; 9:00–20:00 в выходные и праздники. Эти лимиты действуют в актуальной редакции закона № 230-ФЗ. 

5) Кто контролирует банк и куда жаловаться, если звонят родственникам?
За нарушениями при «возврате просрочки» следит ФССП России (по ст. 14.57 КоАП РФ), банк также подпадает под эту статью; за персональные данные — Роскомнадзор; за банковскую тайну — ЦБ РФ (в т. ч. через интернет-приёмную). Штрафы по ст. 14.57 КоАП для юрлица — до 500 000 руб. 

6) Что делать прямо сейчас, чтобы звонки родственникам прекратились?
Шаг 1. Письменно отзовите своё согласие на общение с третьими лицами.
Куда: в Т-Банк (Тинькофф) — через электронную почту, указанную на их официальном сайте, либо заказным письмом/вручением под роспись.
Формулировка по сути:

«Отзываю ранее данное мной согласие на взаимодействие с третьими лицами по договору № … в порядке п. 7 ст. 4 Закона № 230-ФЗ. Прошу прекратить любые звонки/сообщения моим родственникам и знакомым. Прошу письменно подтвердить прекращение в 3 рабочих дня».
Правовое обоснование и срок — в ст. 4 Закона № 230-ФЗ. 
Шаг 2. Попросите родственников отправить банку “отзыв/запрет” от себя.
Даже если согласия они не давали, достаточно короткого письма/сообщения:

«Я, ФИО, не являюсь заёмщиком/поручителем по договору № …, согласия на взаимодействие не давал(а). В порядке ч. 7.1 ст. 4 Закона № 230-ФЗ не даю и отзываю согласие на любые звонки и сообщения. Требую прекратить взаимодействие в 3 рабочих дня».
Это прямой механизм из закона. 
Шаг 3. Зафиксируйте нарушения.
Ведите журнал звонков (дата/время/номер/кто звонил/что говорил), сохраняйте записи разговоров и скриншоты сообщений — это допустимые доказательства. Лимиты и запреты — в ст. 7 Закона № 230-ФЗ. 

Шаг 4. Направьте жалобы (параллельно):

В ФССП — по факту незаконного взаимодействия с третьими лицами и превышения лимитов (ст. 14.57 КоАП РФ, Закон № 230-ФЗ).
В ЦБ РФ — за разглашение банковской тайны (ст. 857 ГК РФ, ст. 26 Закона «О банках…»).
В Роскомнадзор — за незаконное распространение персональных данных (ст. 7 Закона № 152-ФЗ).
К жалобам приложите: журнал звонков, записи, ответы банка (или их отсутствие), копии ваших и «родственниковых» отзывов согласий.
Шаг 5. При необходимости — иск о компенсации морального вреда.
Суды присуждают компенсацию за навязчивые звонки и разглашение, ориентируемся на материалы практики и подход ВС РФ (суммы сильно варьируются, но возможность защиты подтверждается). 

7) Это не ухудшит мои переговоры с банком?
Нет. Ограничение «коллекторской части» общения не отменяет ваши обязанности по договору и не мешает урегулировать проблему цивилизованно.

8) Что сделать по долгу, учитывая, что просрочка < 1 месяца и доход просел?
С 1 января 2024 действует постоянный механизм кредитных каникул для граждан: если доход за последние 2 месяца упал >30% относительно среднего за предыдущие 12, можно запросить льготный период до 6 месяцев по потребкредиту/кредитной карте в пределах лимитов (для потребкредитов — сейчас до 450 000 ₽; для карт с лимитом — 150 000 ₽, ваш кредит на 15 000 ₽ укладывается). Наличие небольшой просрочки не лишает права подать заявление. Готовьте 2-НДФЛ/справки о снижении дохода и подавайте в банк. 

Важно: «общий» отказ от взаимодействия (чтобы полностью запретить звонки и оставить только письма) по закону № 230-ФЗ можно подать не ранее 4 месяцев с даты первой просрочки — до этого такой отказ будет недействительным. Но запрет звонков родственникам действует сейчас, без ожидания.