Может ли бабушка написать дарственную, чтобы оставить мне свою квартиру, пока не истекли 5 лет или нужно ждать когда квартира от государства перейдет ко мне в собственность?

С учётом моего ответа выше далее:

Постановление Правительства РФ от 28 июня 2013 года N 548 «Об утверждении типового договора найма жилого помещения для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей»  Типовой договор найма жилого помещения для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей.

Из Постановления следует:

7. Наниматель имеет право:

6) на заключение договора социального найма в отношении занимаемого жилого помещения после окончания срока действия настоящего договора при отсутствии оснований для заключения с Нанимателем договора найма специализированного жилого помещения на новый 5-летний срок.-https://docs.cntd.ru/document/499030575

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учётом моих ответов выше далее:

«Обзор практики рассмотрения судами дел, связанных с обеспечением детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, жилыми помещениями» утвержденный Президиумом Верховного Суда РФ 23.12.2020 года.

Из Обзора следует:

Таким образом, действующим законодательством, регулирующим порядок обеспечения жилыми помещениями детей-сирот и лиц из их числа, предусмотрена обязанность компетентного органа по окончании срока действия договора найма специализированного жилого помещения и при отсутствии оснований для заключения такого договора на новый срок исключить жилое помещение из специализированного жилищного фонда и заключить договор социального найма в отношении этого жилого помещения. 
В свою очередь, положений о необходимости установления нуждаемости нанимателя в предоставлении жилого помещения по договору социального найма на момент истечения срока действия договора найма специализированного жилого помещения действующие нормы права не содержат..-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_371984/

Но только в судебном порядке, в случае отказа.

Что соответствует требованиям федерального закона.

Федеральный закон от 21.12.1996 N 159-ФЗ  «О дополнительных гарантиях по социальной поддержке детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей»  Статья 8. Дополнительные гарантии прав на имущество и жилое помещение.

Из статьи следует:

По окончании срока действия договора найма специализированного жилого помещения и при отсутствии обстоятельств, свидетельствующих о необходимости оказания лицам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, содействия в преодолении трудной жизненной ситуации, орган исполнительной власти субъекта Российской Федерации,… обязан принять решение об исключении жилого помещения из специализированного жилищного фонда и заключить с лицами, указанными в пункте 1 настоящей статьи, договор социального найма в отношении этого жилого помещения-http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_12778/785ff748eda8db09e9275dc8231632fa1a2d0062/

Закон РФ от 04.07.1991 N 1541-1 «О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации» Статья 2.

Из статьи следует:

 Статья 2. Граждане Российской Федерации, имеющие право пользования жилыми помещениями государственного или муниципального жилищного фонда на условиях социального найма, вправе приобрести их на условиях, предусмотренных настоящим Законом-www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_100/b6b3ad6cfdf02e6fab52356db00a28d96b2cb9e8/

Свои уточнения Вы также можете писать мне в чат, пройдя по ссылке на мой личный профиль: pravoved.ru/lawyer/798541/

нажав кнопку «Общаться в чате».