В течение какого времени можно обратиться в суд для установления виновника аварии

Крайне важно различать два типа обращений:

Для привлечения к административной ответственности (штраф, лишение прав):
Обратитесь в ГИБДД/суд сразу. Срок давности для вынесения постановления по делу об административном правонарушении (ч. 1 ст. 12.24 КоАП РФ — нарушение ПДД, повлекшее вред здоровью легкой/средней тяжести) — 3 месяца со дня ДТП (ст. 4.5 КоАП РФ). Для тяжкого вреда или смертей — 1 год (но это уже уголовная ответственность). Промедление грозит отказом.
Для взыскания материального ущерба/морального вреда/расходов (гражданский иск):
Общий срок исковой давности — 3 года(ст. 196 ГК РФ) со дня, когда вы узнали о нарушении своего права и о том, кто виновник (обычно это дата ДТП).
Ключевые моменты:

Административку (виновность для штрафа) нужно фиксировать БЫСТРО (в идеале — на месте).
Иск о возмещении ущерба можно подать в течение 3 лет.
Независимую экспертизу повреждений ТС делайте ДО ремонта.
Если вред здоровью — сроки давности по иску о компенсации вреда жизни/здоровью НЕ ПРИМЕНЯЮТСЯ (ст. 208 ГК РФ), но затягивать не стоит.
Резюме: По административке — максимум 3 месяца. По возмещению ущерба — до 3 лет, но действовать лучше оперативно.