Как это можно сделать, не выезжая?

Для временной регистрации по месту пребывания можно воспользоваться порталом «Госуслуги». Электронное свидетельство придёт в личный кабинет на сайте.

Для постоянной регистрации по месту жительства подать заявку можно онлайн на «Госуслугах», но получать документы (паспорт со штампом с отметкой о регистрации) придётся лично. 

Чтобы сделать прописку удалённо, нужно:
Оформить нотариальную доверенность на собственника жилья, где нужно получить регистрацию, или на другого доверенного человека.
Передать доверенному лицу паспорт и все необходимые документы, попросить его сходить в МФЦ.
Доверенное лицо с паспортом заявителя, своим паспортом и документами на квартиру сможет оформить регистрацию.
Отправить паспорт и готовую регистрацию назад можно курьером, почтой, через родственников или друзей.