Здравствуйте Миша.
Прописать ребёнка в вашей квартире она не сможет без вашего согласия, даже через суд. Регистрация ребёнка возможна только по месту регистрации матери (автоматически), либо по месту регистрации отца только с его согласия. Если вы не согласны, суд не может обязать прописать ребёнка ни в вашей квартире, ни у ваших родителей. Прописка — не обязанность, а право собственника.
Ваша девушка не сможет зарегистрировать ребёнка в квартире ваших родителей, так как она и ребёнок не являются членами семьи собственников (если собственники — ваши родители), и у неё нет права требовать такую регистрацию через суд.
Она не сможет претендовать на долю в вашей квартире, даже если у вас будет общий ребёнок, если вы не в браке и квартира куплена до отношений или за ваши личные средства. Она не станет сособственником автоматически, даже если будет проживать с вами или помогать с ремонтом. При продаже вы не обязаны получать её согласие. Если позже вы заключите брак, и она будет вкладываться в улучшение квартиры, тогда возможно возникновение спора о доле через суд, но при чётком доказывании вложений.