Какие нужны документы для этого, и какое нужно обоснование?

Добрый день!
Действующим законодательством продление срока временного ввоза автомобиля не предусмотрено. Вы обязаны либо вывезти авто, либо сменить таможенный режим на выпуск для внутреннего потребления.
Что касается вашей ситуации.
Статья 268 Таможенного Кодекса ЕАЭС, пункт 2, подпункт 7:
Обязанность по уплате таможенных пошлин, налогов в отношении ввозимых <...> прекращается у декларанта при наступлении следующих обстоятельств:
Признание таможенным органом в соответствии с законодательством государств-членов о таможенном регулировании факта уничтожения и (или) безвозвратной утраты товаров для личного пользования вследствие аварии или действия непреодолимой силы либо факта безвозвратной утраты этих товаров в результате естественной убыли при нормальных условиях перевозки (транспортировки) и (или) хранения, за исключением случаев, когда до таких уничтожения или безвозвратной утраты в соответствии с настоящей статьей в отношении этих товаров наступил срок уплаты таможенных пошлин, налогов;
Существует Приказ ФТС России Министерства финансов Российской Федерации от 27 апреля 2021 г. N 336
«Об утверждении порядка признания таможенным органом факта уничтожения и (или) безвозвратной утраты товаров вследствие аварии или действия непреодолимой силы либо факта безвозвратной утраты товаров в результате естественной убыли при нормальных условиях перевозки (транспортировки) и (или) хранения».
Изучите. И действуйте. 
Таможня может вам отказать в признании факта прекращения обязательств, который можно будет оспорить либо в порядке ведомственного контроля, либо в судебном порядке.
Подобная ситуация описана так же в постановлении Пленума Верховного Суда РФ №18 от 12 мая 2016 года. Немного старовато, согласен, но тем не менее, для судов постановление пленумов ВС — это солидный аргумент.
Цитата:«Оценивая обоснованность отказа таможенного органа в признании факта аварии, судам необходимо исходить из того, что о прекращении существования транспортного средства (его конструктивной гибели) может свидетельствовать невозможность проведения ремонта поврежденного имущества либо превышение стоимости ремонта по отношению к стоимости данного транспортного средства на момент аварии либо равенство этих стоимостей.»
Перечень таможенных органов, обладающих компетенцией по совершению таможенных операций в отношении
транспортных средств для личного пользования и товаров для личного пользования, в том числе таможенных операций по оформлению и продлению срока временного ввоза найдете ТУТ