Дарья, здравствуйте.
Основные сложности при отсутствии договора возникают у Вас как у исполнителя.
Для этого Вам нужно доказать, что услуги действительно были оказаны и заказчик их принял. Самое надежное доказательство — двусторонний акт оказания услуг.
Общие положения о договоре возмездного оказания услуг не содержат обязательных требований к форме договора, к нему применяются правила о форме сделок, предусмотренные ст. ст. 158 — 163 ГК РФ.
Соответственно, договор оказания услуг (о котором собственно и идет речь) будет считаться заключенным в письменной форме в одном из следующих случаев:
1) вы согласовали его существенные условия путем обмена письмами, в том числе электронными. При этом такие документы должны обладать признаками оферты и акцепта и позволять достоверно установить, что исходят от стороны по договору ( нормативное регулирование: ст. ст. 432, 434 ГК РФ);
2) в ответ на ваше письменное предложение (оферту) клиент совершил действия по исполнению договора — конклюдентные действия (акцепт) (п. 3 ст. 434, п. 3 ст. 438 ГК РФ).
3. Совершение лицом, получившим оферту, в срок, установленный для ее акцепта, действий по выполнению указанных в ней условий договора (отгрузка товаров, предоставление услуг, выполнение работ, уплата соответствующей суммы и т.п.) считается акцептом, если иное не предусмотрено законом, иными правовыми актами или не указано в оферте.
п. 3 ст. 438 ГК РФ
Например, исполнитель обязан оказать услугу, а заказчик вправе требовать ее оказания, если в ответ на его счет-оферту исполнителя он внес оплату в соответствии с условиями оферты.
При этом необязательно выполнять условия оферты в полном объеме, достаточно начать исполнение на условиях, которые указаны в оферте, и в установленный для ее акцепта срок.
У вас договорные отношения, на мой взгляд однозначно состоялись.
Согласно п. 13 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 25.12.2018 N 49,
13. Акцепт, в частности, может быть выражен путем совершения конклюдентных действий до истечения срока, установленного для акцепта. В этом случае договор считается заключенным с момента, когда оферент узнал о совершении соответствующих действий, если иной момент заключения договора не указан в оферте и не установлен обычаем или практикой взаимоотношений сторон (пункт 1 статьи 433, пункт 3 статьи 438 ГК РФ).
Кроме того, по смыслу п. 7 Информационного письма Президиума ВАС РФ от 25.02.2014 N 165, договор оказания услуг будет признан заключенным и тогда, когда вы с контрагентом совместными действиями по оказанию услуг, их сдаче и принятию устранили необходимость согласования существенных условий, которые не были согласованы до этого.
Вы как, исполнитель можете подтвердить факт оказания и/или объем услуг, которые предоставлены без оформленного договора, любыми письменными документами, имеющими отношение к процессу оказания и принятия услуг.
Если договор не заключен, то оплату, перечисленную за неоказанные услуги, Вы как исполнитель должны вернуть.
Заказчику нужно подать иск по правилам о неосновательном обогащении.