Ника, добрый день.
При наличии у ребенка действительного заграничного паспорта — у него нет препятствий для выезда из РФ в сопровождении родителей или одного из них.
В силу ст. 6 ФЗ от 15.08.1996 N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию»
Выезд из Российской Федерации и въезд в Российскую Федерацию граждане Российской Федерации осуществляют по действительным документам, удостоверяющим личность гражданина Российской Федерации за пределами территории Российской Федерации,
Указание в паспорте на место рождения Мариуполь, не свидетельствует о недействительности самого паспорта и не является препятствием для выезда из страны.
При въезде в Грузию, также нет правовых оснований для отказа во въезде в страну на том основании, что в паспорте указано место рождения г. Мариуполь.
Наличие у ребенка гражданства РФ предполагает его въезд в Грузию на общих основаниях, установленных для граждан РФ независимо от места его рождения.
Однако, отказ во въезде не исключен и без каких-либо законных основаниях, но предусмотреть это невозможно.
О случаях отказа можете ознакомиться здесь
https://trabzon.mid.ru/ru/press-centre/news/gruziya_ne_propuskaet_rossiyskikh_grazhdan/
участились случаи отказа в пропуске на территорию Грузии российских граждан на турецко-грузинском автомобильном пункте пропуска «САРПИ» (Хопа, Провинция Артвин, Турция, goo.gl/maps/QS19mopS33TV9YGM6).
Отказ грузинских пограничных служащих, как правило, ничем не обоснован, причины такого отказа не разъясняются.
Среди граждан России, не допущенных на территорию Грузии – жители Северо-Кавказского федерального округа, жители Республики Крым, граждане ДНР или ЛНР, имеющие также российское гражданство.
Этот отказ незаконен.
НО как и говорил Вам выше, грузинская сторона может найти причину отказа не основанную на законодательстве.