Здравствуйте.
1. Проблема довольно злободневная и по опыту (ведем с несколькими клиентами работу в этом направлении в Московской области) скажу, что никаких гарантированных механизмов нет. Все, что Вы можете, это, во-первых, обращаться в сам профильный орган, отвечающий за отлов (как правило, это региональный минсельхоз), а также в другие органы, включая суд.
Граждане имеют право обращаться лично, а также направлять индивидуальные и коллективные обращения, включая обращения объединений граждан, в том числе юридических лиц, в государственные органы, органы местного самоуправления и их должностным лицам, в государственные и муниципальные учреждения и иные организации, на которые возложено осуществление публично значимых функций, и их должностным лицам.
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_59999/be7283e212e095d8bf0e210c867e989ea3951739/
С тех пор, как регионам дали разрешение на умерщвление, проблема, конечно, обострилась.
2. До сих пор какие-то обращения направляли? Собаки программу ОСВВ не проходили?
В целом ситуацию, которую Вы описываете, противоречит федеральному законодательству России, регулирующему обращение с животными. В отношении животных в законодательстве заложен принцип гуманного обращения. Не считая локально-нормативных актов региона опираться стоит на Федеральный закон от 27.12.2018 N 498-ФЗ «Об ответственном обращении с животными и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации», закон устанавливает правила гуманного обращения с безнадзорными животными, включая их отлов, содержание и стерилизацию. Согласно этому закону, убивать животных разрешено только в исключительных случаях, предусмотренных ветеринарными правилами, и строго гуманными методами.
Статья 5. Полномочия федеральных органов государственной власти в области обращения с животными
Направьте коллективное или индивидуальное обращение в прокуратуру области. Укажите на возможные нарушения закона, а также предоставьте доказательства (фотографии, видеозаписи, показания свидетелей).
Также есть возможность подать исковое заявление в суд с требованием признать действия по отлову и содержанию животных незаконными, если подтверждаются факты жестокого обращения или нарушения процедуры.
Также можно рассмотреть возможность связи с федеральными зоозащитными организациями. Они могут предоставить юридическую поддержку и привлечь внимание к проблеме.
Указанный мной ранее фз, также регламентирует содержание безнадзорных животных
Статья 17. Общие положения деятельности по обращению с животными без владельцев
1. Деятельность по обращению с животными без владельцев осуществляется в целях:
Также в статье Статья 19. Государственный контроль (надзор) в области обращения с животными, регламентирован порядок надзора за деятельностью в этой области.