Здравствуйте, Ирина!
Имеют ли они право настаивать, подписывать щадним числом?
нет, не имеют права.
Вы в принципе не обязаны соглашаться на изменение условий трудового договора.
Поскольку Вы не указали, в чем суть допсоглашения, нельзя рекомендовать какую-то стратегию.
В некоторых случаях условия тр. договора могут быть изменены работодателем без согласия работника с соблюдением установленного законом порядка, в некоторых случаях отказ работника от изменения условий тр. договора влечет увольнение работника с выплатой выходного пособия в размере двухнедельного среднего заработка.
Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).