Здравствуйте, Наталья!
Вы вправе обратиться в суд с иском с требованием обязать соседа произвести обрезку дерева так, чтобы с него ничего не осыпалось на вашу территорию. Предварительно следует подать соседу письменную претензию с таким требованием и указать разумный срок для выполнения Вашего требования (в т.ч., с учетом, что обрезку деревьев следует производить в период остановки сокодвижения, чтобы дерево не погибло). По истечении этого срока уже можно будет обращаться в суд.
В иске лучше сразу указать дополнительное требование — взыскание «судебной неустойки" за каждый день просрочки исполнения решения суда. Размер судебной неустойки определяется судом на основе принципов справедливости, соразмерности и недопустимости извлечения должником выгоды из незаконного или недобросовестного поведения (пункт 4 статьи 1 ГК РФ). В результате присуждения судебной неустойки исполнение судебного акта должно оказаться для ответчика явно более выгодным, чем его неисполнение.
Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).