Старшему сыну 20 лет, он может ли забрать младшего сына со школы домой без доверенности

Доверенность в данном случае не нужна. Во время нахождения ребенка в школе ответственность за его здоровье и безопасность несут работники школы (статья 28 Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации»).

В остальное время ответственность за несовершеннолетнего несут его законные представители – родители или надлежащим образом уполномоченные родителями лица (статьи 63, 64 Семейного кодекса РФ).

Если моя консультация оказалась Вам полезной, то прошу оставить положительный отзыв или поставьте -"+", а при наличии возможности простимулируйте меня давать консультации людям дальше отблагодарив меня ЛЮБОЙ суммой здесь - 
m.pravoved.ru/pay/lawyer-reward/id/3907371/ и я пойму что не зря тратила часть своей жизни на помощь Вам. 
P.S. При необходимости предоставлю более развёрнутый и аргументированный ответ, со ссылками на закон. 

Оформляю документы всех видов и провожу правовую оценку любых документов.