Добрый вечер, подскажите пожалуйста, на сколько законно мать уезжая в другой город, создаёт себе новую семью, рожает ребёнка, а первого оставляем в предыдущем городе на своих родителей?

Здравствуйте.

Женщина не исполняет свои родительские обязанности. За это ее можно лишить родительских прав. 

Здравствуйте Дарья.

В данном случае речь идёт о ненадлежащем исполнении родительских обязанностей. 
Каждый родитель обязать заниматься воспитанием ребёнка и содержать его. 

Я бы рекомендовала бабушке обратиться в органы опеки по месту ее проживания с ребёнком и написать заявление, что мать уклоняется от воспитания и содержания ребёнка и оформила бы временную опеку. Далее она уже может, как законный представитель ребёнка выйти в суд с исковым заявлением о лишении родительских прав матери и взыскании алиментов на содержание ребёнка.  

Но лишение родительских прав крайняя мера, поэтому суд может сначала ограничить в родительских правах мать. Все зависит от доказательственной базы. 

И не понятно из указанной информации, что с отцом ребёнка. Это тоже важный момент.