Могу ли я поехать завтра в травмпункт снять побои и с бумажкой о снятых побоях через пару дней написать заявление?

Здравствуйте!

Могу ли я поехать завтра в травмпункт снять побои и с бумажкой о снятых побоях через пару дней написать заявление?

Да, можете, но лучше сделать это как можно раньше. 

И что за это ему может быть?

Тут возможны два варианта — либо привлечение к уголовной, либо к административной  ответственности в зависимости от тяжести травмы, нанесенной Вам. У них разные санкции и разная степень ответственности.

Статья 116. Побои
Побои или иные насильственные действия, причинившие физическую боль, но не повлекшие последствий, указанных в статье 115 настоящего Кодекса, совершенные из хулиганских побуждений, а равно по мотивам политической, идеологической, расовой, национальной или религиозной ненависти или вражды либо по мотивам ненависти или вражды в отношении какой-либо социальной группы, — наказываются обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года, либо ограничением свободы на срок до двух лет, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет.

Статья 6.1.1. Побои
Нанесение побоев или совершение иных насильственных действий, причинивших физическую боль, но не повлекших последствий, указанных в статье 115 Уголовного кодекса Российской Федерации, если эти действия не содержат уголовно наказуемого деяния, — влечет наложение административного штрафа в размере от пяти тысяч до тридцати тысяч рублей, либо административный арест на срок от десяти до пятнадцати суток, либо обязательные работы на срок от шестидесяти до ста двадцати часов.