Можно ли поднять старые данные по базам, чтобы в новых правах также значилась категория А?

Добрый день.

Можно ли поднять старые данные по базам, чтобы в новых правах также значилась категория А?

 Да, можно.

В период когда Вы меняли водительское удостоверение действовало постановление  Правительства РФ от 24.10.2014 N 1097 «О допуске к управлению транспортными средствами»

в следующей редакции

31. При выдаче российского национального водительского удостоверения взамен ранее выданного российского национального водительского удостоверения соответствующие отметки и записи, содержащиеся в ранее выданном водительском удостоверении, переносятся в новое водительское удостоверение.

Таким образом, сведения о категориях транспортных средств, к управлению которых Вы были допущены должны были быть перенесены в новое ВУ.

Вы можете подать заявление о выдаче выписки из информационной системы Госавтоинспекции о наличии водительского удостоверения и внесении изменений в выданное водительское удостоверение на основании ранее имевшихся сведений о категории.

Приказом МВД России от 20.02.2021 N 80 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по проведению экзаменов на право управления транспортными средствами и выдаче водительских удостоверений»

на этот счет предусмотрено, что 

260. Основанием для исправления допущенных технических ошибок (описок, опечаток, грамматических либо иных ошибок) <1> в водительском удостоверении является обращение заявителя с заявлением об исправлении допущенных технических ошибках (описках, опечатках, грамматических либо подобных ошибках) <2> с прилагаемыми к нему документами, подтверждающими их наличие (рекомендуемый образец приведен в приложении N 9 к Административному регламенту).

Исправление технической ошибки осуществляется с выдачей нового водительского удостоверения взамен содержащего техническую ошибку в срок, не превышающий 5 рабочих дней со дня регистрации соответствующего обращения заявителя.