Может ли их передать водитель машины?

Здравствуйте. 

Документы с пометкой «ДСП» пересылаются другим органам и организациям фельдъегерской связью, заказными или ценными почтовыми отправлениями, с федеральным государственным гражданским служащим (сотрудником организации). Допускается обмен сообщениями по системе межведомственного электронного документооборота, содержащими служебную информацию, при выполнении требований по защите такой информации, установленных в отношении информационных систем электронного документооборота.

Соответственно у работника организации должен быть соответствующий уровень допуска к сведениям составляющим информацию ДСП.

Вывод: при наличие допуска документы с грифом ДСП можете передать с таким сотрудником.