Или 5 дней я могу взять только с начала даты регистрации, те с 14 июня по 18 июня?

Добрый день, Мария

Можете писать заявление на указанные Вами дни, т.к. законодатель не определяет, с какого именно момента предоставляются выходные. Здесь по соглашению между работником и работодателем.

Согласно ст.128 ТК РФ

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников — до пяти календарных дней;