И могут ли прекратить на него расследование?

Тут надо понимать — какой тяжести преступление. У ст.158 УК РФ 

ч.1 — небольшой

ч.2  средней тяжести

ч.3 и ч.4 — тяжкие.

За преступления небольшой и средней тяжести, согласно требований ст.3 Федеральный закон от 24 июня 2023 г. № 270-ФЗ “Об особенностях уголовной ответственности лиц, привлекаемых к участию в специальной военной операции” будет освобождено от уголовной ответственности 

. Лицо, совершившее преступление небольшой или средней тяжести, уголовное дело (уголовное преследование) в отношении которого приостановлено по ходатайству командования воинской части (учреждения), призванное на военную службу по мобилизации или в военное время в Вооруженные Силы Российской Федерации либо заключившее в период мобилизации, в период военного положения или в военное время контракт о прохождении военной службы в Вооруженных Силах Российской Федерации, освобождается от уголовной ответственности:

1) со дня награждения государственной наградой, полученной в период прохождения военной службы;

2) со дня увольнения с военной службы по основанию, предусмотренному подпунктом «а», «в» или «о» пункта 1 статьи 51 Федерального закона от 28 марта 1998 года N 53-ФЗ «О воинской обязанности и военной службе».

Если же преступление иной категории, тогда оснований для освобождения от уголовной ответственности не имеется. Но служба на СВО может быть учтена как смягчающее его вину обстоятельство.

 И могут ли прекратить на него расследование?

Могут приостановить по ходатайству командира.