Здравствуйте, в соответствии с положениями, закрепленными в статье 158 Семейного кодекса РФ,
Браки между гражданами Российской Федерации и браки между гражданами Российской Федерации и иностранными гражданами или лицами без гражданства, заключенные за пределами территории Российской Федерации с соблюдением законодательства государства, на территории которого они заключены, признаются действительными в Российской Федерации
с полным содержанием законодательной нормы Вы можете ознакомиться по данной ссылке- https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/c017ae9b36b862e7230d9d8e4d1848dcebf3995b/
обратимся к «Конвенции о правовой помощи и правовых отношениях по гражданским, семейным и уголовным делам», Заключенной в г. Минске 22.01.1993. Среди подписавших данную конвенцию находятся Российская Федерация и Грузия.- https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_5942/d86852dc5d06472d046952a26663b3cbc79eae7d/
Статья 13-
Документы, которые на территории одной из Договаривающихся Сторон изготовлены или засвидетельствованы учреждением или специально на то уполномоченным лицом в пределах их компетенции и по установленной форме и скреплены гербовой печатью, принимаются на территориях других Договаривающихся Сторон без какого-либо специального удостоверения.
Дополнительно, Россия и Грузия являются участниками Конвенции, отменяющей требование легализации иностранных официальных документов, заключенной в Гааге 5 октября 1961 г.- https://docs.cntd.ru/document/1900410
Статья 2 Конвенции
Каждое из договаривающихся государств освобождает от легализации документы, на которые распространяется настоящая Конвенция и которые должны быть представлены на его территории. Под легализацией в смысле настоящей Конвенции подразумевается только формальная процедура, используемая дипломатическими или консульскими агентами страны, на территории которой документ должен быть представлен, для удостоверения подлинности подписи, качества, в котором выступало лицо, подписавшее документ, и, в надлежащем случае, подлинности печати или штампа, которыми скреплен этот документ.
Таким образом, Вам потребуется только нотариально удостоверенный перевод свидетельства о регистрации брака. Печати на свидетельство ставить не требуется, только выполнить нотариально заверенный перевод. Больше со свидетельством ничего делать не требуется. В Грузии документ Вы не регистрируете.
Свои дальнейшие разъяснения продолжу в ответах ниже.
С учетом изложенного,
В том случае, если Ваша фамилия была изменена при заключении брака, паспорт гражданина РФ нужно поменять в течение 30 дней.
Алгоритм-
Вам нужно просто обратиться в органы ЗАГС на территории РФ. Все, что вам потребуется- Заявление и Свидетельство о браке и его нотариально заверенный перевод. И далее- подать заявление на замену паспорта РФ. Сделать это можно через Госуслуги, либо в отделении МВД, либо в МФЦ. Вы эту процедуру можете сделать сами.
Разумеется, однако, пробоем возникнуть не должно.
Надеюсь, мои разъяснения были для Вас полезны.
С уважением, Самошина Анастасия Александровна