Что взыскивает суд с ответчика, а за что платит страховая?

Мне сказали, что я могу обратиться в его страховую.

 Вам в страховой выплате могут отказать.

Указанное Вами событие может быть признано не страховым случаем.

В силу ст. 6 ФЗ «Об ОСАГО»

2. К страховому риску по обязательному страхованию относится наступление гражданской ответственности по обязательствам, указанным в пункте 1 настоящей статьи,за исключением случаев возникновения ответственности вследствие:
е) причинения вреда жизни или здоровью работников при исполнении ими трудовых обязанностей, если этот вред подлежит возмещению в соответствии с законом о соответствующем виде обязательного страхования или обязательного социального страхования;

Таким образом, еслиВам вред здоровью был причинен при исполнении трудовых обязанностей и по результатам лечения Вам была произведена выплата по социальному страхованию — то в выплате по ОСАГО Вам будет отказано.

Поэтому данный вопрос нуждается в уточнении.

Исключением из данного правила является случай, если выплата «больничного» не покрывает размер причиненного вреда Вашему здоровью.

На это обращено внимание в Определение Судебной коллегии по гражданским делам Верховного Суда РФ от 20.06.2017 N 4-КГ17-27

Согласно статье 1 (пункт 2) указанного закона настоящий Федеральный закон не ограничивает права застрахованных на возмещение вреда, осуществляемого в соответствии с законодательством Российской Федерации, в части, превышающей обеспечение по страхованию, осуществляемое в соответствии с настоящим Федеральным законом.
Таким образом, по смыслу указанной статьи, в том случае, если иными законами Российской Федерации, регулирующими возмещение вреда, пострадавшим гражданам предоставляется иной — более высокий — размер соответствующего возмещения, они вправе требовать его предоставления, в том числе на основании такого закона.

Исходя из сказанного Вы в любом случае можете обратиться с заявлением в страховую компанию по ОСАГО, приложив к нему следующие документы

— о ДТП, оформленное сотрудниками полиции и постановление о привлечении водителя к административной ответственности

- документы мед.учреждения с указанием характера полученных потерпевшим травм и увечий, диагноза и периода нетрудоспособности;

— заключение судебно-медицинской экспертизы о степени утраты профессиональной трудоспособности, а при отсутствии профессиональной трудоспособности — о степени утраты общей трудоспособности (в случае наличия такого заключения).

Ваше заявление подлежит рассмотрению и при наличии оснований для выплаты страхового возмещения оно Вам будет выплачено.

В суд Вы можете обратиться с требованием о возмещении компенсации морального вреда.

Если виновный водитель работал по трудовому договору — то требовать компенсацию морального вреда в силу ст. 1068 ГК РФ Вы вправе с его работодателя.

Размер компенсации Вы можете заявить любой — окончательный ее размер определит суд. 

В суд вы можете обратиться с вопросом о компенсации морального вреда.Для успешного взыскания морального ущерба вам необходимо понимать, что именно подпадает под это понятие. Оно подразумевает: боль и стресс от полученных травм; потерю возможности вести нормальную жизнедеятельность; потерю работы или нетрудоспособность.

Куда обращаться сначала? На какую сумму можно иск подавать? 

Иск составляется по правилам ст.131 ГПК РФ.Но, думаю, вам лучше доверить составление искового заявления специалисту.Необходимо будет верно определиться с ответчиком и с третьими лицами, а так же правильно сформулировать сами исковые требования.Сумму можно указать ту, которая по вашему мнению является наиболее справедливой для компенсации морального вреда.