И в какие сроки нужно подать рапорт?

Дело в том, что  В период мобилизации (он еще не окончен),  безусловное увольнение окончанию контракта невозможно, поскольку в силу п. 4 Указа Президента РФ № 647 от 21.09.22 года, действие контрактов продлено до окончания этого периода

Увольнение возможно только по указанным в этом Указе основаниям:

а) по возрасту — по достижении ими предельного возраста пребывания на военной службе;

б) по состоянию здоровья — в связи с признанием их военно-врачебной комиссией не годными к военной службе, за исключением военнослужащих, изъявивших желание продолжить военную службу на воинских должностях, которые могут замещаться указанными военнослужащими;

в) в связи с вступлением в законную силу приговора суда о назначении наказания в виде лишения свободы.

Как видите иных оснований пока не предусмотрено, поэтому служить придется до окончания периода мобилизации, после чего Вы будете уволены по окончанию срока службы, (ч. 1 ст. 51 Закона О воинской обязанности и военной службе № 53-фз от 19998 года) либо по иному, выбранному Вами основанию

Вот пример судебного решения по этому поводу

Ввиду изложенного, суд приходит к выводу, что оснований для признания незаконными действий командира воинской части, связанных с отказом в увольнении с военной службы по истечении срока контракта, не имеется и считает права административного истца ненарушенными, а заявленные требования не подлежащими удовлетворению.

….

Дело № 2а-114/2022 Одинцовский гарнизонный военный суд

Вместе с тем, в силу Указа Президента 580 дсп от 2023 года, возможно увольнение по окончанию контракта, по собственному желанию, ОШМ, при признании ограниченно годным и по семейным обстоятельствам.

Но есть ряд условий:

1.    Для этого должно быть дано заключение аттестационной комиссии с учетом задач возложенных на федеральный орган исполнительной власти

2.    Увольнение происходит приказом руководителя органа исполнительной власти (Министра обороны, Директора ФСВНГ итп)

Как сами понимаете, по указанным основаниям могут и не уволить, поскольку это право командования и оно будет реализовываться с учетом многих обстоятельств

В силу ст. 17 ФЗ «О мобилизационной подготовке и мобилизации в РФ», а также указа Президента РФ от 21.09.2022 N 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации»

4. Контракты о прохождении военной службы, заключенные военнослужащими, продолжают свое действие до окончания периода частичной мобилизации, за исключением случаев увольнения военнослужащих с военной службы по основаниям, установленным настоящим Указом.

Поэтому независимо от того, что срок его контракта истекает — он все равно будет продлен до окончания периода мобилизации.