Можно ли при установлении отцовства сразу присвоить ребенку фамилию отца?

На изменение ФИО ребенка можете подать сразу заявление… Надо ваше обоюдное согласие. 

Закон об актах гражданского состояния от 1997 г. 

Статья 57. Внесение изменений в запись акта о рождении ребенка в связи с установлением отцовства
 

 
1. На основании записи акта об установлении отцовства в запись акта о рождении ребенка вносятся сведения о его отце. Внесение сведений об отце, а также изменение фамилии, имени и отчества ребенка осуществляются в порядке, предусмотренном настоящим Федеральным законом для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния.

Ст 58 . 

3. Перемена имени лицом, не достигшим совершеннолетия, производится при наличии согласия обоих родителей, . 

Здравствуйте, Анастасия!

На момент регистрации рождения ребенка, согласно ч. 5 ст. 58 СК РФ, ему была присвоена фамилия матери, поскольку отцовство на тот момент установлено не было. Таким образом, фамилия у ребенка уже есть, и присвоение ее невозможно — только перемена.

В соответствии со ст. 57, ч. 2 ст. 69 Федерального закона от 15.11.1997 №143-ФЗ, для внесения изменений в запись акта о рождении понадобятся:

запись акта о перемене имени;

решение органа опеки и попечительства о согласии на изменение фамилии и (или) собственно имени ребенка

В соответствии с ч. 1 ст. 59 СК РФ, для изменения фамилии ребенку, не достигшему 14 лет, нужно согласие обоих родителей, согласие органа опеки и попечительства, а если ребенку больше 10 лет — и его самого.