Может ли тётя стать опекуном?

А если отец не работает, пьянствует и у него нет средств на собственное существование, как от может растить ребёнка?

В этом случае его нужно лишать родительских прав, что на практике не так просто, так как это исключительная мера, которую суд применяет только в крайних случаях. Как правило, это предшествует долгая работа по сбору доказательств того, что отец уклоняется от воспитания ребенка, допускает жестокое обращение с ним.

Если отец стоит на учёте у нарколога- это является основанием для лишения родительских прав отца?

Сам по себе учет не является. Но если он стоит на учете с диагнозом хронический алкоголизм или наркомания, то он может быть лишен родительских прав (ст. 69 СК РФ)

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

 являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

Обратитесь в органы опеки и проинформируйте их о создавшейся ситуации, возможно они сами проведут обследование условий проживания ребенка с отцом и сами выйдут в суд с иском о лишении или ограничении его родительских прав.

Тогда Вы сможете взять ребенка под попечительство.

С учетом моих предыдущих ответов выше далее:

Если же родитель имеется, и он не лишен родительских прав, то по закону он является законным представителем ребенка, и обязан его воспитывать, а также  материально обеспечивать.

СК РФ Статья 64. Права и обязанности родителей по защите прав и интересов детей-https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/2236d37faf59dafdc4b2bc53c6b05841fe616ee9/

Из статьи следует:

1. Защита прав и интересов детей возлагается на их родителей.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.