Добрый вечер.
Для временной регистрации по месту временного проживания договора найма будет являться документом на основании которого Вам могут выдать «временную прописку». За данной услугой необходимо обратиться в МФЦ (наиболее удобно) или соответствующие подразделения управления по вопросам миграции МВД РФ.
Не забудьте что при обращении о получении «временной прописки» необходимо иметь свидетельство о государственной регистрации права на жилое помещение или заявление лица, предоставляющего гражданину жилое помещение (а лучше явиться вместе с ним в МФЦ).
Считаю что школа отчислить ребенка из-за того, что нет прописки, не может. Однако Вы за проживание в другом регионе без временной регистрации можете получить штраф.
Есть еще один нюанс — что школа вправе не принимать ребенка, проживающего вне обслуживаемой им территории, если нет свободных мест и «школа» активно этим может пользоваться и поэтому регистрацию все-таки сделать потребуется.