Где остались бумаги\сведения об отозванном заявлении молодого человека?

Добрый вечер.

1. Законная ли данная процедура при регистрации требовать подписание данного документа?

 Да, законная.

Она существует достаточно давно, только МФЦ ее не реализовывали.

Активизировались они только в связи с повышением для них размера штрафа за неисполнение с их стороны обязанности по воинскому учету.

Данные требования основаны на ст. 4 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе», которая предполагает, что 

3. Органы внутренних дел в пределах своей компетенции обязаны:
вручать гражданам, не состоящим на воинском учете, но обязанным состоять на воинском учете, направление в военный комиссариат для постановки на воинский учет по месту жительства или месту пребывания при осуществлении их регистрации по месту жительства или месту пребывания.

Виду того, что регистрация по месту жительства осуществляется через МФЦ, на последние опосредованно возложили исполнение данной обязанности, поскольку в последующем документы на регистрацию они передают в МВД. Таким образом, выданное Вам требование основано на законе.

2. Есть ли какие-то штрафы\проблема\санкции со стороны государства за отказ подписания данного документа?

 Да.

Есть риск ответственности по ст. 21.5 КоАП РФ в размер административного штрафа от 500 до 3000 рублей.

3. Могут ли быть какие-либо проблемы с военкоматом, воинским учетом?

 В данном случае проблем не предполагается. Единственной мерой негативного воздействия зев Вашем случае может быть только административная ответственность.

4. Где остались бумаги\сведения об отозванном заявлении молодого человека? Не будет ли в связи с этим проблем, так как в МФЦ осталась данная информация и возможно считается что молодой человек уведомлен о чем-то?

 Она передается в МВД, а от них в свою очередь перенаправляется в военкомат.