Может ли учебная организация, автономная некоммерческая, приобрести квартиру и передать/подарить ее своему сотруднику?

Дарение — возможно, если не противоречит Уставу НКО

ГК РФ Статья 575. Запрещение дарения

1. Не допускается дарение, за исключением обычных подарков, стоимость которых не превышает трех тысяч рублей: 

1) от имени малолетних и граждан, признанных недееспособными, их законными представителями;

2) работникам образовательных организаций, медицинских организаций, организаций, оказывающих социальные услуги, и аналогичных организаций, в том числе организаций для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, гражданами, находящимися в них на лечении, содержании или воспитании, супругами и родственниками этих граждан;

3) лицам, замещающим государственные должности Российской Федерации, государственные должности субъектов Российской Федерации, муниципальные должности, государственным служащим, муниципальным служащим, служащим Банка России в связи с их должностным положением или в связи с исполнением ими служебных обязанностей;

4) в отношениях между коммерческими организациями.

ГК РФ Статья 576. Ограничения дарения

1. Юридическое лицо, которому вещь принадлежит на праве хозяйственного ведения или оперативного управления, вправе подарить ее с согласия собственника, если законом не предусмотрено иное. Это ограничение не распространяется на обычные подарки небольшой стоимости.

…
 

Закон об НКО не запрещает!