Могу ли начать ремонтировать автомобиль и могут ли они с меня взять деньги?

В соответствии со статьей 11.1 Федерального закона «Об ОСАГО», для обеспечения возможности осмотра и (или) независимой технической экспертизы транспортных средств, участвовавших в дорожно-транспортном происшествии, в случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции владельцы указанных транспортных средств без наличия согласия в письменной форме страховщиков, указанных в пункте 2 статьи 11.1 ФЗ «Об ОСАГО», не должны приступать к их ремонту или утилизации до истечения 15 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, со дня дорожно-транспортного происшествия.
В соответствии со статей 14 ФЗ «Об ОСАГО», к страховщику, осуществившему страховое возмещение, переходит право требования потерпевшего к лицу, причинившему вред, в размере осуществленного потерпевшему страхового возмещения, если до истечения 15 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, со дня дорожно-транспортного происшествия указанное лицо в случае оформления документов о дорожно-транспортном происшествии без участия уполномоченных на то сотрудников полиции приступило к ремонту или утилизации транспортного средства, при использовании которого им был причинен вред, и (или) не представило по требованию страховщика данное транспортное средство для проведения осмотра и (или) независимой технической экспертизы.

Таким образом нужно рассчитать 15 календарных дней по вышеуказанному приниципу, а также с учётом требований ст. 193 ГКРФ.

Обращаю внимание на то, что в указанный срок Страховщик обязан ОТПРАВИТЬ соответствующее уведомление виновнику. 

Срок предусматривает отправку уведомления, а не его получения адресатом. То есть получение уведомления на 16 день не говорит о том, что предусмотренный законом срок был нарушен.