Подскажите, могу ли я как ИП выставлять счет компании, если у нас не заключен договор на бумаге

Здравствуйте. Выставление счета на оплату без договора возможно лишь в том случае, когда счет является офертой, т. е. в счете указана существенная для договора информация.
Если оплата по счету произведена до заключения договора, то счет имеет юридическую силу, если он содержит все существенные условия договора.