Должен ли быть у них кассовый аппарат, как они платят налог?

Здравствуйте Фанзиля!

1) обязанность выдать вам новый договор в связи со сменой фамилии у клиники отсутствует;

2) исходя из формулировки Вашего вопроса, данная клиника работает «в черную», уклоняясь от уплаты налогов;

3) для того чтобы более детально разобраться с Вашей ситуацией нужно ознакомиться с заключенным между Вами и клиникой договором на оказание услуг, а также нужно понимать каким образом между вами производились расчеты (наличными или безналичными)

Если Вам потребуется дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться ко мне в чат (по правилам сервиса услуги в чате платные).