Или по закону уход перейдет мне(жене)?

Добрый день,

Дадут, если бабушка ему приходится родной. Если Ваша родная бабушка, то отсрочка не положена.

Отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданам:
 
б) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, родным братом,родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, если отсутствуют другие лица, обязанные по закону содержать указанных граждан, а также при условии, что последние не находятся на полном государственном обеспечении и нуждаются по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по месту жительства граждан, призываемых на военную службу, в постоянном постороннем уходе

Основание:

 Федеральный закон от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 24.09.2022)
«О воинской обязанности и военной службе» (ст. 24)

С уважением,