Можно ли восстановить срок принятия наследства на долю в квартире при пропуске срока?

Сложно .  Тем более что вы знали о смерти. Вам если в суде только доказывать что после похорон вы забрали какие то мамины вещи себе. В квартиру же мамину заходили..  Толь ко если так.

Поскольку не знание закона не освобождает от ответственности.  

Т.е. доказывать фактическое принятие наследства. Ст 264 ГПК РФ. 

Статья 264 ГПК. Дела об установлении фактов, имеющих юридическое значение

1. Суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций.
2. Суд рассматривает дела об установлении:
9) факта принятия наследства и места открытия наследства;

Здравствуйте, Эльмира!

Согласен с коллегой. Что здесь два варианта — доказывать фактическое принятие наследства (например, надо знать, пришлось ли Вам декларировать кольцо от матери на границе и были ли какие-либо вопросы юридического характера по нему на таможне) в порядке п. 2 ст. 1153 ГК РФ либо признавать сестру недостойным наследником (если есть основания по ст. 1117 ГК РФ).

Напомню, как и коллега про п. 2 ст. 1153 ГК РФ:

«вступил во владение или в управление наследственным имуществом;
принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц;
произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества;
оплатил за свой счет долги наследодателя или получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства»

После смерти матери в течение 6 месяцев оплачивали самостоятельно долги матери или взыскивали денежные средства, которые Вашей матери были должны на день её смерти? И если да, то какие этому имеются доказательства?

Если были долги по коммунальным платежам (либо пришла квитанция на оплату коммунальных платежей), то кто оплатил это после смерти матери? Тот же вопрос относительно налога на недвижимость.