Может ли больница заверить ее согласие на перевод ребёнка в другую больницу с бабушкой?

Доверенность может заверить главврач. 

Но вот что я думаю. Здесь не доверенность нужна (хотя можете и попробовать), а временная опека через органы опеки на бабушку. Так как в российском законодательстве доверенность не предусмотрена в этом отношение. 

......... 

Согласно законодательству, любому из родителей (маме, папе) или другому члену семьи независимо от степени родства (бабушке, тете, сестре) ребенка, не достигшего возраста 4-х лет или ребенку старше данного возраста, за которым необходим уход, разрешено находиться в стационаре в течение всего периода лечения (нахождения) ребенка в больнице