Может ли он зарегистрировать свои права на доли умерших родственников в жилом доме т

Здравствуйте, Сергей!

Начать следует с того, что наследование может осуществляться по закону, завещанию и наследственному договору. Полагаю, что в вопросе речь идет о наследовании по закону.

Разбираю ситуацию, согласно хронологии обстоятельств:

1) дом приобретен в совместную собственность, соответственно у детей долей нет, права в отношении этого имущества имеются у супругов как на совместно нажитое имущество;

2) после смерти матери и сына наследниками первой очереди являются как супруга, так и родители умершего отца (статья 1142 ГК РФ) и поскольку имущество совместно нажитое, то при вступлении в наследство и его принятии 1/2 от имущества положена была супруге умершего отца (матери) и оставшаяся 1/2 поровну между всеми имеющимися наследниками, в том числе матери (то есть каждому из 1/2 еще по 1/3);

3) после смерти матери, у которой должно было быть 2/3, сын, с учетом своей доли при вступлении в наследство и его принятии должен был получить 5/6 доли.

Таким образом, бабушка может рассчитывать на 1/6 доли, сын же может фактически принять наследование, так как по закону это допускается и он может обратиться за получением свидетельства о праве на наследство. 
С уважением,

Артем Гагикович!