Возможно ли в данной ситуации как-то привлечь их к ответственности?

Добрый день.

В соответствии с пунктом 1 статьи 4 Закона о защите прав потребителей продавец (исполнитель) обязан передать потребителю товар (выполнить работу, оказать услугу), качество которого соответствует договору.

Между вами и исполнителем услуг, сложились отношения, вытекающие из договора оказания ветеринарных услуг. В соответствии с действующим законодательством, ветеринарная деятельность относится к лицензируемой деятельности, соответственно, лицо ее осуществляющее должно получить таковую. 

Далее, в силу специфики правоотношений (оказание потребительских услуг) соответствие оказанной услуги всем нормам и правилам (качество услуги) должен доказать исполнитель. 

Учитывая все вышеизложенное, вы можете обратится в суд с требованием о взыскании с исполнителя стоимости оказанной услуги, компенсации морального вреда, размер материального ущерба (стоимость животного), штраф.

Между тем, сложность вашего случая заключается в следующем. Фактически у вас нет никаких доказательств того, что вы обращались в конкретную организацию (отсутствует договор). Кроме того, у вас нет доказательств того, что вам были оказаны какие-либо услуги (отсутствует акт оказанных услуг, кассовый чек). И последнее, установить причину смерти животного, а также дефекты оказания ветеринарной помощи, полагаю, на настоящий момент крайне сложно (если это вообще представляется возможным). 

Таким образом, вы вправе заявить все вышеуказанные требования в судебном порядке, но учитывайте риски.

Все вышеизложенные рекомендации сделаны без учета всех фактических обстоятельств. 

С уважением, Соков Д. А.