Есть ли какие-нибудь выходы из этой ситуации?

Добрый день.

Путевых листов и ТТН у нас нет.

 А они вообще оформлялись?

Если Вы говорите, что договор аренды не заключался — то у лица, на которого «работал» Ваш супруг не был обязанности оформлять указанные документы, поскольку он формально к указанному автомобилю никакого отношения не имел.

В частности, в силу приказа Минтранса России от 11.09.2020 N 368 «Об утверждении обязательных реквизитов и порядка заполнения путевых листов»

8. Путевой лист оформляется на каждое транспортное средство, эксплуатируемое юридическим лицом и (или) индивидуальным предпринимателем.

Документально автомобиль в его эксплуатации не был, а следовательно, нет оснований и для оформления путевых листов.

ТТН — это первичный учетный документ, изначально предназначавшийся для учета движения товарно-материальных ценностей и расчетов за их перевозки автомобильным транспортом.

Однако для целей заключения договора перевозки ТТН не требуется.

В силу ст. 8 ФЗ  от 08.11.2007 N 259-ФЗ «Устав автомобильного транспорта и городского наземного электрического транспорта»

1. Заключение договора перевозки груза подтверждается транспортной накладной. Транспортная накладная, если иное не предусмотрено договором перевозки груза, составляется грузоотправителем.

Поэтому необходимости в применении ТТН нет.

Но тут стоит обратить внимание на то, что в силу постановления Правительства РФ от 21.12.2020 N 2200
«Об утверждении Правил перевозок грузов автомобильным транспортом и о внесении изменений в пункт 2.1.1 Правил дорожного движения Российской Федерации»

Транспортная накладная составляется на бумажном носителе в 3 экземплярах (оригиналах) соответственно для грузоотправителя, грузополучателя и перевозчика или формируется в виде электронной транспортной накладной.
Транспортная накладная подписывается грузоотправителем (лицом, осуществляющим погрузку груза в транспортное средство), грузополучателем (уполномоченным им лицом) и перевозчиком (водителем). 

Таким образом, если «другом» заключались договора перевозки в его распоряжении может быть транспортная накладная.

И в ней обязательно должны быть указаны данные транспортного средства задействованного при перевозке.

Вы говорите, что 

Есть только треки отслеживания с системы глонасс.

 Этого для доказывания наличия договорных отношений будет мало.

Говоря о том, что был заключен договор, который в отступление от требований действующего законодательства не был оформлен в письменном виде нужны дополнительные доказательства.

Согласно ст. 633 ГК РФ

Договор аренды транспортного средства с экипажем должен быть заключен в письменной форме независимо от его срока.

Можно применить правило о том, что договор был заключен путем обмена электронными документами, письмами и иными сообщениями, основываясь на положениях ст. 434 ГК РФ, но в таком случае у Вас должна быть соответствующая переписка.

Более того, даже подтвердив факт его заключения — Вам при обращении в суд нужно будет доказать размер подлежащих к выплате сумм.

Данные сведения, имеющимися в Вашем распоряжении треками отслеживания с системы глонасс вряд ли подтверждаются.

Есть ли какие-нибудь выходы из этой ситуации ?

 Для ответа на данный вопрос нужно понимать следующее:

— есть ли у Вас письменные сообщения об условиях использования автомобиля?

— есть ли у Вас копии подаваемых заявок на перевозку?

— есть ли у Вас документальное подтверждение стоимости одного рейса, подлежащего оплате или общей суммы за использование автомобиля?

Поскольку речь идет о том, что 

«друг» не выплачивает за рейсы.

 То сумма его задолженности перед Вами ни путевыми листами, ни ТТН установлена не будет.

Возможно Вы сможете подтвердить факт использования Вашего автомобиля — но Вам также нужно будет доказать на каких условиях он использовался и из чего складывается сумма долга перед Вами.