Насколько это возможно и могут ли они так сделать?

Здравствуйте, Дмитрий!

Если Вы проходите обучение по целевой программе, то — да, могут подать иск о взыскании с Вас денежных средств.

ст. 56 Федерального закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации»:

6. В случае неисполнения гражданином, заключившим договор о целевом обучении, предусмотренных договором о целевом обучении обязательств по освоению образовательной программы и (или) осуществлению трудовой деятельности в течение трех лет он обязан возместить заказчику целевого обучения расходы, связанные с предоставлением мер поддержки.

 
7. Положение о целевом обучении, включающее в том числе порядок заключения и расторжения договора о целевом обучении, условия определения и изменения места осуществления трудовой деятельности, порядок и основания освобождения сторон от исполнения обязательств по договору о целевом обучении, порядок выплаты компенсации, порядок определения размера расходов и их возмещения, и типовая форма договора о целевом обучении устанавливаются Правительством Российской Федерации.