Олеся, добрый вечер!
Формально вы имеет право обратиться в трудовую инспекцию, но для этого нужно предоставить доказательства, что вас заставляют писать заявление. Их собрать крайне сложно, к тому же коллеги наверняка встанут на сторону начальника, так как тоже не захотят потерять работу. Потому трудовая инспекция не поможет.
Вы можете проигнорировать предложение написать заявление, но тогда вас начнут выживать. Коллеги могут начать разговаривать сквозь зубы, долго отвечать по рабочим вопросам. Могут вас подставить, сделать выговор по выдуманной причине. Дело может дойти до увольнения по статье. Такое часто случается с несговорчивыми сотрудниками.
До того как ребенку не исполнится трех лет вас не имеют права увольнять по статье, но вы сказали, что ему исполнится три года 20 ноября, поэтому это вопрос времени.
Поэтому советую поговорить с работодателем, попросить остаться пока не найдете другую работу. Если у него осталось что-то человеческое, пойдет на встречу. Если несложно поставьте плюс.