С момента развода прошёл месяц, сейчас у меня родилась дочь от нового папы, могу ли я записать малышку на биологического отца без суда?

Согласно п. 2 ст. 48 СК РФ

если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение 300 дней с момента расторжения брака, отцом ребенка признается бывший супруг матери, если не доказано иное (ст. 52 СК РФ). 

Таким образом, по общему правилу отцом ребенка, который родился в течение 300 дней с момента расторжения брака, в свидетельство о рождении записывается бывший супруг матери ребенка. Для того чтобы в свидетельство о рождении ребенка был записан биологический отец ребенка, мать ребенка или сам отец должны обратиться в суд с исковым заявлением об исключении записи об отце, произведенной в актовой записи о рождении в соответствии с п. 1 и 2 ст. 51 СК РФ, и внесении новых сведений об отце (т.е. об установлении отцовства другого лица).