Должен ли быть где-то зарегистрирован коллективный трудовой спор?

Здравствуйте, исходя из положений ст. 401 ТК РФ

для уведомительной регистрации спора работники и работодатели могут обратиться в Роструд после начала коллективного трудового спора.

Роструд производит уведомительную регистрацию коллективных трудовых споров по поводу заключения, изменения и выполнения соглашений, заключаемых на федеральном уровне, коллективных трудовых споров в организациях, финансируемых из федерального бюджета, а также коллективных трудовых споров, возникающих при наличии обстоятельств, исключающих в силу положений ч. 1 и 2 ст. 413 ТК РФ проведение забастовки (п. 5.3.3 Положения о Федеральной службе по труду и занятости).

Другие коллективные трудовые споры подлежат регистрации в управлениях Роструда по урегулированию коллективных трудовых споров.

Надеюсь, мои разъяснения были для Вас полезны.