Добрый день! Вам необходимо обратиться в ЗАГС с совместным заявлением установленной формы, после чего Вам выдадут новое свидетельство о рождении.
Без отца ребенка сделать это не получиться.
Об этом прямо говорит Семейный кодекс РФ. В ст. 48 которого установлено
Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка; в случае смерти матери, признания ее недееспособной, невозможности установления места нахождения матери или в случае лишения ее родительских прав — по заявлению отца ребенка с согласия органа опеки и попечительства, при отсутствии такого согласия — по решению суда.
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/f64d6b175638c70eb99ef021764166984044fa23/