Могу ли я тоже получить исполнительный лист с целью принуждать отца к соблюдению графика?

Здравствуйте, Елена.

Действительно ли отец не обязан соблюдать график?

Общение отца возможно в соответствии с Определением суда, т.е. как Вы и указали два дня в месяц в присутствии матери.

Согласно ч.3 ст.67 СК РФ Суд разрешает спор исходя из интересов ребенка и с учетом мнения ребенка.

В случае невыполнения решения суда к виновному родителю применяются меры, предусмотренные законодательством об административных правонарушениях и законодательством об исполнительном производстве.

В следующем ответе продолжу.

Здравствуйте. 

Определение о временном порядке общения.

 Это обеспечительные меры в рамках ст.139 ГПК РФ

1. По заявлению лиц, участвующих в деле, судья или суд может принять меры по обеспечению иска.

 
Заявление об обеспечении иска, подаваемое в электронном виде, должно быть подписано усиленной квалифицированной электронной подписью.

1. Действительно ли отец не обязан соблюдать график?

 обязан, поскольку это опять же обеспечительные меры.

2. Если обязан, то как мне его привлекать к ответственности за несоблюдение?

 к сожалению, если только с приставами общаться о этом. Формально закон не предусматривает тут молчит.

3. Отец получил исполнительный лист и сдал приставам. Могу ли я тоже получить исполнительный лист с целью принуждать отца к соблюдению графика?

 ИЛ выдаётся исключительно взыскателю, но не другой стороне.

4. Если в данном процессе, где истец — отец, я ИЛ получить не могу, правильно ли я понимаю, что мне нужно подать аналогичный встречный иск (я узнавала, мать тоже может это сделать, даже если живет с ребенком) — и тогда уже принуждать отца исполнять график будет проще? У меня будет статус взыскателя...

Да можно таким путём пойти.

5. Обдумываю вариант подать встречный иск «Об ограничении родительских прав». Как правильно сформулировать просьбу к суду — «Исключить общение отца с сыном в силу доказанного вреда, который данные встречи причиняют ребенку либо назначить минимальный график общения»?

да можно примерно так и написать. Ст. 73 СК РФ

Ограничение родительских прав допускается также в случаях, если оставление ребенка с родителями (одним из них) вследствие их поведения является опасным для ребенка, но не установлены достаточные основания для лишения родителей (одного из них) родительских прав. Если родители (один из них) не изменят своего поведения, орган опеки и попечительства по истечении шести месяцев после вынесения судом решения об ограничении родительских прав обязан предъявить иск о лишении родительских прав. В интересах ребенка орган опеки и попечительства вправе предъявить иск о лишении родителей (одного из них) родительских прав до истечения этого срока.

Добрый вечер, Елена!
Указанные меры являются обеспечительными, нарушение которых ввиду части 2 статьи 140 Гражданского Процессуального Кодекса Российской Федерации(далее — ГПК РФ) влечет следующие последствия:

При нарушении запрещений, указанных в пунктах 2 и 3 части первой настоящей статьи, виновные лица подвергаются судебному штрафу в порядке и в размере, которые установлены главой 8 настоящего Кодекса. Кроме того, истец вправе в судебном порядке требовать от этих лиц возмещения убытков, причиненных неисполнением определения суда об обеспечении иска.

Кроме того, если судебный акт по данному разбирательству не вынесен, то исполнительный лист ничтожен. На это указывает часть 4 статьи 428 ГПК РФ:

Исполнительный лист, выданный до вступления в законную силу судебного постановления, за исключением случаев немедленного исполнения, является ничтожным и подлежит отзыву судом, вынесшим судебное постановление.

То есть получить исполнительный лист Вы не можете.
Что касается встречного иска, то это должно быть самостоятельно требование, иначе его подать невозможно, а если Вы не согласны, то это будет отзыв-возражение, но никак не встречный иск. Если связанный со спором другой вопрос затрагивается, то можете, но я не увидел этого в Вашем вопросе. 
А что касается требований обеспечительных, то они обязательны для отца. Суд должен был сообщить о принятых обеспечительных мерах органам принудительного исполнения. Можете попросить в суде копию и направить приставам. При бездействии направить жалобу.
С уважением,

Артем Гагикович!