Здравствуйте! Для граждан Армении действует упрощенный порядок трудоустройства на основании "Договора о Евразийском экономическом союзе", поэтому требования по квотам на них не распространяются.
1) Могу ли я его устроить как самозанятого через договор на оказание услуг чтобы он мог далее находиться на законных основаниях в РФ (он уже зарегистрирован как самозанятый, проверял по ИНН)?
С самозанятым Вы не можете иметь отношения, которые содержат признаки трудовых. Но Вы можете заключить с ним договор ГПХ на оказание каких либо услуг. Это действительно возможно. Главное, чтобы Ваши взаимоотношения не содержали признаков трудовых отношений на основании Письма Минфина РФ от 08.09.2021 № 03-11-11/72631.
В соответствии с п. 5 Статьи 97. Трудовая деятельность трудящихся государств-членов Договора ЕЭС
5. Срок временного пребывания (проживания) трудящегося государства-члена и членов семьи на территории государства трудоустройства определяется сроком действия трудового или гражданско-правового договора, заключенного трудящимся государства-члена с работодателем или заказчиком работ (услуг).
Таким образом, лицо действительно может оставаться в РФ до исполнения обязательств по договору.
2) Если не могу устроить его как самозанятого, то что необходимо сделать для того чтобы устроить его по ТК?
Да, также возможно устроить лицо к ИП и по трудовому договору. Порядок расписан здесь с перечислением нюансов: https://online-buhuchet.ru/priem-na-rabotu-grazhdanina-armenii/
Да, договор ГПХ может быть заключен и таковым основанием является. На основании указанной мной статьи 97.
Для продления срока пребывания нужно подавать заявление в ФМС (отдел миграции при МВД) в соответствии со статье 5 Федерального закона от 25.07.2002 N 115-ФЗ
К заявлению прикладывать договор или трудовой договор как основание.