И какие дополнительные подтверждающие документы может потребовать военкомат?

По смыслу ст. 18 ФЗ «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации»

отсрочка от призыва по мобилизации предоставляется:

3) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, мужем, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, нуждающимися по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы в постороннем постоянном уходе (помощи, надзоре) либо являющимися инвалидами I группы, при отсутствии других лиц, обязанных по закону содержать указанных граждан;

Поскольку бабушка является инвалидом  1 группы — то нет необходимости предоставления заключения о ее нуждаемости.

Основанием для отсрочки является установление ей инвалидности и отсутствие лиц, которые по закону обязаны ее содержать.

К числу последних относятся родные и усыновленные дети, опекуны.

Для целей ее получения Вам нужно предоставить:

— Ваш паспорт

— паспорт бабушки

— свидетельство о смерти отца

-справку об установлении инвалидности

— документы, подтверждающие родственные отношения с бабушкой.

Может ли повлиять на отсрочку тот факт, что у меня есть мать пенсионер, которая не имеет отношения к родственным связям моей бабушки?

 Нет, не может. Она в силу закона не обязана осуществлять за ней уход и ее содержание, а следовательно, отказать в предоставлении отсрочки Вам не могут. 

что у меня есть мать пенсионер, которая не имеет отношения к родственным связям моей бабушки?

 Она не обязана ее содержать, к тому же пенсионер. 

И какие дополнительные подтверждающие документы может потребовать военкомат?

 Ваше свидетельство о рождении,

свидетельство о рождении отца,

свидетельство о смерти отца,

справка об инвалидности бабушки,

паспорта (Ваш и бабушки).

Рекомендую и заключение МСЭ о необходимости ухода тоже представить, хотя оно при уходе за инвалидом 1 группы она необязательна.