Мне 37 лет ограниченно годен к военной службе, военный билет на руках, могут ли забрать на частичную мобилизацию или уйти по контракту?

Здравствуйте!

Вы состоите в запасе, может быть призваны по мобилизации. И все. В Указе, и законе нет ничего про 1, 2 и 3 очереди и про категории годности. 

Должны явиться в военкомат для определения своего предназначения в период мобилизации при получении повестки.

могут ли призвать по мобилизации.?
 Да, могут

По разъяснениям Минобороны сейчас будут призываться первая очередь — рядовые и сержанты до 35 лет, стрелки, танкисты, артиллеристы, механик- водители, водители.  Т.е. в ближайшее время Вас вряд ли призовут, но это исключить нельзя. По закону Вы подпадаете на призыв по мобилизации. 

Федеральный закон от 26.02.1997 N 31-ФЗ «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации»
 
Статья 17. Призыв граждан на военную службу по мобилизации
2. Призыву на военную службу по мобилизации подлежат граждане, пребывающие в запасе, не имеющие права на отсрочку от призыва на военную службу по мобилизации.