Увольнять они ее тоже отказываютя?

Здравствуйте, Евгения!

Я обратилась к администрации фитнес клуба, чтоб показали видио запись, на что получила отказ.

 это в общем-то логично, ведь, наверное, на записи не только Ваш ребенок, а сейчас все контролирующие органы «носятся» с защитой персональных данных, изображения гражданина и т.д.

Увольнять они ее тоже отказываютя

 увольнение работника — исключительная компетенция работодателя, на это неоднократно указывал и Верховный, и Конституционный суд РФ. Вы, конечно, вправе требовать увольнения работника, но работодатель не обязан этого делать. 

Как мне быть в этой ситуации?

 Вы вправе обратиться в полицию с заявлением об оскорблении Вашего ребенка тренером, о психическом насилии, а также в суд с иском о компенсации причиненного ребенку вреда. 

Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).